class: center, middle, inverse, title-slide # 2.6 — Statistical Inference ## ECON 480 • Econometrics • Fall 2020 ### Ryan Safner<br> Assistant Professor of Economics <br> <a href="mailto:safner@hood.edu"><i class="fa fa-paper-plane fa-fw"></i>safner@hood.edu</a> <br> <a href="https://github.com/ryansafner/metricsF20"><i class="fa fa-github fa-fw"></i>ryansafner/metricsF20</a><br> <a href="https://metricsF20.classes.ryansafner.com"> <i class="fa fa-globe fa-fw"></i>metricsF20.classes.ryansafner.com</a><br> --- class: inverse # Outline ### [Why Uncertainty Matters](#3) ### [Confidence Intervals](#16) ### [Confidence Intervals Using the infer Package](#24) --- class: inverse, center, middle # Why Uncertainty Matters --- # Recall: The Two Big Problems with Data .pull-left[ .smallest[ - We use econometrics to .hi-purple[identify] causal relationships and make .hi-purple[inferences] about them 1. Problem for .hi-purple[identification]: .hi[endogeneity] - `\(X\)` is **exogenous** if `\(cor(x, u) = 0\)` - `\(X\)` is **endogenous** if `\(cor(x, u) \neq 0\)` 2. Problem for .hi-purple[inference]: .hi[randomness] - Data is random due to **natural sampling variation** - Taking one sample of a population will yield slightly different information than another sample of the same population ] ] .pull-right[ .center[  ] ] --- # Distributions of the OLS Estimators - OLS estimators `\((\hat{\beta_0}\)` and `\(\hat{\beta_1})\)` are computed from a finite (specific) sample of data - Our OLS model contains **2 sources of randomness**: - .hi-purple[*Modeled* randomness]: `\(u\)` includes all factors affecting `\(Y\)` *other* than `\(X\)` - different samples will have different values of those other factors `\((u_i)\)` - .hi-purple[*Sampling* randomness]: different samples will generate different OLS estimators - Thus, `\(\hat{\beta_0}, \hat{\beta_1}\)` are *also* **random variables**, with their own <span class=hi>sampling distribution</span> --- # The Two Problems: Where We're Heading...Ultimately .center[ .b[Sample] `\(\underbrace{\rightarrow}_{\text{statistical inference}}\)` .b[Population] `\(\underbrace{\rightarrow}_{\text{causal indentification}}\)` .b[Unobserved Parameters] ] - We want to .hi[identify] causal relationships between **population** variables - Logically first thing to consider - .hi-purple[Endogeneity problem] - We'll use **sample** *statistics* to .hi-purple[infer] something about population *parameters* - In practice, we'll only ever have a finite *sample distribution* of data - We *don't* know the *population distribution* of data - .hi-purple[Randomness problem] --- # Why Sample vs. Population Matters .pull-left[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/pop1-1.png" width="504" /> .center[**Population**] ] -- .pull-right[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/scatter1-1.png" width="504" /> .center[**Population relationship**] $$Y_i = 3.24 + 0.44 X_i + u_i $$ $$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i $$ ] --- # Why Sample vs. Population Matters .pull-left[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/sample1-1.png" width="504" /> .center[**Sample 1:** 30 random individuals] ] -- .pull-right[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/sample1 scatter-1.png" width="504" /> .center[ **Population relationship** <br> `\(Y_i = 3.24 + 0.44 X_i + u_i\)` **Sample relationship** <br> `\(\hat{Y}_i = 3.19 + 0.47 X_i\)` ] ] --- # Why Sample vs. Population Matters .pull-left[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/sample2-1.png" width="504" /> .center[**Sample 2:** 30 random individuals] ] .pull-right[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/sample2 scatter-1.png" width="504" /> .center[ **Population relationship** <br> `\(Y_i = 3.24 + 0.44 X_i + u_i\)` **Sample relationship** <br> `\(\hat{Y}_i = 4.26 + 0.25 X_i\)` ] ] --- # Why Sample vs. Population Matters .pull-left[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/sample3-1.png" width="504" /> .center[**Sample 3:** 30 random individuals] ] .pull-right[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/sample3 scatter-1.png" width="504" /> .center[ **Population relationship** <br> `\(Y_i = 3.24 + 0.44 X_i + u_i\)` **Sample relationship** <br> `\(\hat{Y}_i = 2.91 + 0.46 X_i\)` ] ] --- # Why Sample vs. Population Matters .pull-left[ - Let's repeat this process **10,000 times**! - This exercise is called a .hi-purple[(Monte Carlo) simulation] - I'll show you how to do this next class with the `infer` package ] -- .pull-right[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/simulation-scatter-1.png" width="504" /> ] --- # Why Sample vs. Population Matters .pull-left[ .smallest[ - .hi-turquoise[On average] estimated regression lines from our hypothetical samples provide an unbiased estimate of the true population regression line `$$E[\hat{\beta_1}] = \beta_1$$` - However, any *individual line* (any *one* sample) can miss the mark - This leads to .hi-purple[uncertainty] about our estimated regression line - Remember, we only have *one* sample in reality! - This is why we care about the .hi[standard error] of our line: `\(se(\hat{\beta_1})\)`! ] ] .pull-right[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png" width="504" /> ] --- class: inverse, center, middle # Confidence Intervals --- # Statistical Inference .center[ .b[Sample] `\(\xrightarrow{\text{statistical inference}}\)` .b[Population] `\(\xrightarrow{\text{causal indentification}}\)` .b[Unobserved Parameters] ] --- # Statistical Inference .center[ .hi[Sample] `\(\color{#e64173}{\xrightarrow{\text{statistical inference}}}\)` .hi[Population] `\(\xrightarrow{\text{causal indentification}}\)` .b[Unobserved Parameters] ] - So what we naturally want to start doing is .hi[inferring] what the true population regression model is, using our estimated regression model from our sample -- `$$\hat{Y_i}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X \xrightarrow{\text{🤞 hopefully 🤞}} Y_i=\beta_0+\beta_1X+u_i$$` - We can’t yet make causal inferences about whether/how `\(X\)` *causes* `\(Y\)` - coming after the midterm! --- # Estimation and Statistical Inference .pull-leff[ - Our problem with .hi-purple[uncertainty] is we don’t know whether our sample estimate is *close* or *far* from the unknown population parameter - But we can use our errors to learn how well our model statistics likely estimate the true parameters - Use `\(\hat{\beta_1}\)` and its standard error, `\(se(\hat{\beta_1})\)` for statistical inference about true `\(\beta_1\)` - We have two options... ] .pull-right[ ] --- # Estimation and Statistical Inference .pull-left[ .center[  .hi[Point estimate] ] .smaller[ - Use our `\(\hat{\beta_1}\)` and `\(se(\hat{\beta_1})\)` to determine whether we have statistically significant evidence to reject a hypothesized `\(\beta_1\)` - Reporting a *single* value `\((\hat{\beta_1})\)` is often not going to be the true population parameter `\((\beta_1)\)` ] ] .pull-right[ .center[  .hi[Confidence interval] ] .smaller[ - Use `\(\hat{\beta_1}\)` and `\(se(\hat{\beta_1})\)` to create an *range* of values that gives us a good chance of capturing the true `\(\beta_1\)` ] ] --- # Accuracy vs. Precision .center[  ] - More typical in econometrics to do hypothesis testing (next class) --- # Generating Confidence Intervals .pull-left[ - We can generate our confidence interval by generating a .hi-purple[“bootstrap”] sampling distribution - This takes our sample data, and resamples it by selecting random observations with replacement - This allows us to approximate the sampling distribution of `\(\hat{\beta_1}\)` by simulation! ] .pull-right[ .center[  ] ] --- class: inverse, center, middle # Confidence Intervals Using the infer Package --- # Confidence Intervals Using the infer Package .left-column[ .center[  ] ] .right-column[ - The `infer` package allows you to do statistical inference in a `tidy` way, following the philosophy of the `tidyverse` ```r # install first! install.packages("infer") # load library(infer) ``` ] --- # Confidence Intervals with the infer Package I .left-column[ .center[  ] ] .right-column[ - `infer` allows you to run through these steps manually to understand the process: 1. `specify()` a model 2. `generate()` a bootstrap distribution 3. `calculate()` the confidence interval 4. `visualize()` with a histogram (optional) ] --- # Confidence Intervals with the infer Package II .center[  ] --- # Confidence Intervals with the infer Package II .center[  ] --- # Confidence Intervals with the infer Package II .center[  ] --- # Confidence Intervals with the infer Package II .center[  ] --- # Confidence Intervals with the infer Package II .center[  ] --- # Bootstrapping .pull-left[ ## Our Sample .smallest[ <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> {"columns":[{"label":["term"],"name":[1],"type":["chr"],"align":["left"]},{"label":["estimate"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["std.error"],"name":[3],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["statistic"],"name":[4],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["p.value"],"name":[5],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"(Intercept)","2":"698.932952","3":"9.4674914","4":"73.824514","5":"6.569925e-242"},{"1":"str","2":"-2.279808","3":"0.4798256","4":"-4.751327","5":"2.783307e-06"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}} </script> </div> ] ] -- .pull-right[ ## Another “Sample” .smallest[ <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> {"columns":[{"label":["term"],"name":[1],"type":["chr"],"align":["left"]},{"label":["estimate"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["std.error"],"name":[3],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["statistic"],"name":[4],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["p.value"],"name":[5],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"(Intercept)","2":"708.270835","3":"9.5041448","4":"74.522311","5":"1.698400e-243"},{"1":"str","2":"-2.797334","3":"0.4802065","4":"-5.825274","5":"1.139188e-08"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}} </script> </div> ] 👆 Bootstrapped from Our Sample ] -- - Now we want to do this 1,000 times to simulate the unknown sampling distribution of `\(\hat{\beta_1}\)` --- # The *infer* Pipeline: Specify .center[  ] --- # The *infer* Pipeline: Specify .left-code[ ### Specify `data %>%` ` specify(y ~ x)` ] .right-plot[ - Take our data and pipe it into the `specify()` function, which is essentially a `lm()` function for regression (for our purposes) ```r CASchool %>% specify(testscr ~ str) ``` .smallest[ <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> {"columns":[{"label":["testscr"],"name":[1],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["str"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"690.80","2":"17.88991"},{"1":"661.20","2":"21.52466"},{"1":"643.60","2":"18.69723"},{"1":"647.70","2":"17.35714"},{"1":"640.85","2":"18.67133"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}} </script> </div> ] ] --- # The *infer* Pipeline: Generate .center[  ] --- # The *infer* Pipeline: Generate .left-code[ ### Specify ### Generate `%>% generate(reps = n,` ` type = "bootstrap")` ] .right-plot[ - Now the magic starts, as we run a number of simulated samples - Set the number of `reps` and set `type` to `"bootstrap"` ```r CASchool %>% specify(testscr ~ str) %>% generate(reps = 1000, type = "bootstrap") ``` ] --- # The *infer* Pipeline: Generate .left-code[ ### Specify ### Generate `%>% generate(reps = n,` ` type = "bootstrap")` ] .right-plot[ .quitesmall[ <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> 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</script> </div> ] ] --- # The *infer* Pipeline: Calculate .left-code[ ### Specify ### Generate ### Calculate `%>% calculate(stat = "slope")` ] .right-plot[ .quitesmall[ ```r boot <- CASchool %>% #<< # save this specify(testscr ~ str) %>% generate(reps = 1000, type = "bootstrap") %>% calculate(stat = "slope") ``` ] - `boot` is (our simulated) sampling distribution of `\\(\hat{\beta_1}\\)`! - We can now use this to estimate the confidence interval from *our* `\\(\hat{\beta_1}=-2.28\\)` - And visualize it ] --- # Confidence Interval .pull-left[ - A 95% confidence interval is the middle 95% of the sampling distribution .smallest[ <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> {"columns":[{"label":["lower"],"name":[1],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["upper"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"-3.340545","2":"-1.238815","_row":"2.5%"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}} </script> </div> ] ] .pull-right[ .quitesmall[ ```r sampling_dist<-ggplot(data = boot)+ aes(x = stat)+ geom_histogram(color="white", fill = "#e64173")+ labs(x = expression(hat(beta[1])))+ theme_pander(base_family = "Fira Sans Condensed", base_size=20) sampling_dist ``` <img src="2.6-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-14-1.png" width="504" /> ] ] --- # Confidence Interval .pull-left[ - A confidence interval is the middle 95% of the sampling distribution .smallest[ ```r ci<-boot %>% summarize(lower = quantile(stat, 0.025), upper = quantile(stat, 0.975)) ci ``` <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> {"columns":[{"label":["lower"],"name":[1],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["upper"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"-3.340545","2":"-1.238815","_row":"2.5%"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}} </script> </div> ] ] .pull-right[ .quitesmall[ ```r sampling_dist+ geom_vline(data = ci, aes(xintercept = lower), size = 1, linetype="dashed")+ geom_vline(data = ci, aes(xintercept = upper), size = 1, linetype="dashed") ``` <img src="2.6-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-16-1.png" width="504" /> ] ] --- # The *infer* Pipeline: Confidence Interval .left-code[ ### Specify ### Generate ### Calculate ### Get Confidence Interval `%>% get_confidence_interval()` ] .right-plot[ .quitesmall[ ```r CASchool %>% #<< # save this specify(testscr ~ str) %>% generate(reps = 1000, type = "bootstrap") %>% calculate(stat = "slope") %>% get_confidence_interval(level = 0.95, type = "se", point_estimate = -2.28) ``` <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> {"columns":[{"label":["lower_ci"],"name":[1],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["upper_ci"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"-3.273376","2":"-1.286624"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}} </script> </div> ] ] --- # Broom Can Estimate a Confidence Interval .quitesmall[ ```r tidy_reg <- school_reg %>% tidy(conf.int = T) tidy_reg ``` <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> {"columns":[{"label":["term"],"name":[1],"type":["chr"],"align":["left"]},{"label":["estimate"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["std.error"],"name":[3],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["statistic"],"name":[4],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["p.value"],"name":[5],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["conf.low"],"name":[6],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["conf.high"],"name":[7],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"(Intercept)","2":"698.932952","3":"9.4674914","4":"73.824514","5":"6.569925e-242","6":"680.32313","7":"717.542779"},{"1":"str","2":"-2.279808","3":"0.4798256","4":"-4.751327","5":"2.783307e-06","6":"-3.22298","7":"-1.336637"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}} </script> </div> ] -- .quitesmall[ .code60[ ```r # save and extract confidence interval our_CI <- tidy_reg %>% filter(term == "str") %>% select(conf.low, conf.high) our_CI ``` <div data-pagedtable="false"> <script data-pagedtable-source type="application/json"> {"columns":[{"label":["conf.low"],"name":[1],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["conf.high"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"-3.22298","2":"-1.336637"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}} </script> </div> ] ] --- # The *infer* Pipeline: Confidence Interval .left-code[ ### Specify ### Generate ### Calculate ### Visualize `%>% visualize()` ] .right-plot[ .quitesmall[ ```r CASchool %>% #<< # save this specify(testscr ~ str) %>% generate(reps = 1000, type = "bootstrap") %>% calculate(stat = "slope") %>% visualize() ``` <img src="2.6-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-20-1.png" width="504" /> ] - `visualize()` is just a wrapper for `ggplot()` ] --- # The *infer* Pipeline: Confidence Interval .left-code[ ### Specify ### Generate ### Calculate ### Visualize `%>% visualize()` ] .right-plot[ .quitesmall[ ```r CASchool %>% #<< # save this specify(testscr ~ str) %>% generate(reps = 1000, type = "bootstrap") %>% calculate(stat = "slope") %>% visualize()+shade_ci(endpoints = our_CI) ``` <img src="2.6-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-21-1.png" width="504" /> ] .smaller[ - If we have our confidence levels saved (`our_CI`) we can `shade_ci()` in `infer`'s `visualize()` function ] ] --- # Confidence Intervals .smallest[ - In general, a .hi[confidence interval (CI)] takes a point estimate and extrapolates it within some .hi-purple[margin of error]: .center[ `\(\bigg(\)` point estimate — margin of error, point estimate + margin of error `\(\bigg)\)` ] - The main question is, .hi-turquoise[how confident do we want to be] that our interval contains the true parameter? - Larger confidence level, larger margin of error (and thus larger interval) - .hi-purple[$1- \alpha$] is the .hi-purple[confidence level] of our confidence interval - .hi-purple[$\alpha$] is the .hi-purple[“significance level”] that we use in hypothesis testing - `\\(\alpha\\)`: probability that the true mean is *not* contained within our interval - Typical levels: 90%, 95%, 99% - 95% is especially common, `\\(\alpha=0.05\\)` ] --- # Confidence Levels .pull-left[ - Depending on our confidence level, we are essentially looking for the center `\((1-\alpha)\)`% of the sampling distribution - Puts `\(\frac{\alpha}{2}\)` in each tail ] .pull-right[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-22-1.png" width="504" /> ] --- # Confidence Levels and the Empirical Rule .pull-left[ - Recall the .hi-purple[68-95-99.7% empirical rule] for (standard) normal distributions!^{.magenta[†]} - 95% of data falls within 2 standard deviations of the mean - Thus, in 95% of samples, the true parameter is likely to fall within *about* 2 standard deviations of the sample estimate .tiny[ ^{.magenta[†]} I’m playing fast and loose here, we can’t actually use the normal distribution, we use the Student’s t-distribution with n-k-1 degrees of freedom. But there’s no need to complicate things you don’t need to know about. Look at today’s [class notes](/class/2.6-class) for more. ] ] .pull-right[ <img src="2.6-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-23-1.png" width="504" /> ] --- # Interpreting Confidence Intervals - So our confidence interval for our slope is (-3.22, -1.33), what does this mean again? -- ❌ 95% of the time, the true effect of class size on test score will be between -3.22 and -1.33 -- ❌ We are 95% confident that a randomly selected school district will have an effect of class size on test score between -3.22 and -1.33 -- ❌ The effect of class size on test score is -2.28 95% of the time. -- ✅ We are 95% confident that in similarly constructed samples, the true effect is between -3.22 and -1.33